lineaariseerida

Lineaariseerimine või lineaariseerida on matemaatiline protsess, mille käigus mittelineaarne süsteem või funktsioon asendatakse selle lähima lineaarse mudeliga opereerimis- või tasakaalupunkti läheduses. Seda kasutatakse selleks, et keeruline mudel oleks analüüsi ja kontrolli jaoks lihtsam.

Kui f: R^n → R^m on mittelineaarne funktsioon ja x0 on huvipakkuv punkt, siis lineaarne lähendus punktis x0 saadakse esimese järgu Taylori laengu abil: f(x) ≈ f(x0) + Jf(x0) (x − x0), kus Jf(x0) on Jacobi-maatriks, koostatud osatuletistest. Kui käsitletakse dünaamilist süsteemi dx/dt = f(x), siis lineaarne mudel läheneb x* ümber, kus x* on tasakaalupunkt, kujutades seda kujul dξ/dt ≈ A ξ, kus ξ = x − x* ja A = ∂f/∂x|x* on Jacobi-maatriks.

Sarnaselt diskreetsete süsteemidega kehtib, et x_{k+1} ≈ x* + A (x_k − x*). Lineaariseerimine võimaldab kasutada tuntud lineaarset süsteemide võrrandite töödri, stabiilsust ja kontrolli teooriaid mittelineaarsete süsteemide hindamiseks lähedases piirkonnas.

Rakendused hõlmavad inseneeria ja kontrolliteooria valdkondi, kus see võimaldab hinnata süsteemi stabiilsust, kavandada juhtimis- või filtreerimissüsteeme ning teha esmaseid prognoose kasvu ja käitumise kohta. Piirangud on olemuslikud: lähendus kehtib tavaliselt ainult väga lähedal lähtepunktil, see ei ole globaalne ja võib varjata olulist mittelineaarset käitumist kaugemal punktist.

---