Lineaariseerimine

Lineaariseerimine on protsess, mille käigus mittelineaarne mudel või funktsioon kirjeldatakse lokaalselt lineaarsena. See on kasulik, kui soovitakse mõista süsteemi käitumist lähedases operatsiooniväljas või kui on vaja lihtsustatud mudelit analüüsiks ja disainiks. Matemaatiliselt põhineb lineaariseerimine esimese järgu Taylor'i lähendusel.

Statiline lineaariseerimine: Eeldusel, et f: R^n -> R^m on diferentseeruv punktis x0, on lokaalne lähends f(x) ≈ f(x0) + Df(x0)(x - x0), kus Df(x0) on funktsiooni jacobiana maatriks. See annab lineaarse mudeli f̃, mis kirjeldab muutujate väikeste muutuste korral süsteemi käitumist. Kui f(x0) on null (või mingi sihtväärtus), siis f(x) lähendub selle sihtväärtuse ümber lineaarse sõltuvusega.

Dünaamiline lineaariseerimine: kui süsteem on x' = f(x) ja x* on tasakaalupunkt (f(x*) = 0), siis läheduses x = x* lineaariseerimine annab y' = Jf(x*) y, kus y = x - x* ja Jf(x*) on jacobiana maatriks hinnatud x* juures. See lineaarne süsteem võimaldab hinnata kohalike stabiilsusomaduste ja dünaamika kiirusi, kasutades eigenväärtusi.

Piirangud: lineaariseerimine on lokaalne ja kehtib ainult väikeste kõrvalekallete korral. Mittelineaarsed kõrvalekalded, bifurkaatsioonid või piiride mõju võivad põhjustada käitumise olulist muutumist, mille korral esmane lineaarne mudel ei ole usaldusväärne. Vajadus võib olla kõrgemate järkude Taylori lähenduste, kesksete pindade või center-manifold meetodite järele.

Rakendused hõlmavad inseneeriat, füüsikat, majandust ja robootikat, kus on vaja kiiresti hinnata süsteemi käitumist ning disainida kontrollvõimalusi või optimeerida toiminguid kohalikes olukordades.