leikkauspisteiden

Leikkauspisteet tarkoittavat pisteitä, joissa useampi geometrian objekti leikkaa toisensa. Tavallisimmin kyse on kahden viivan tai kahden käyrän yhteisestä pisteestä, mutta käsite soveltuu myös kolmiulotteisiin tilanteisiin ja yleisemmille polynomikäyrille. Leikkauspisteet muodostuvat usein ratkaisemista tarkoittavista yhtälöparista.

Tasossa kahden viivan leikkauspiste on olemassa ja se on yksittäinen piste, jos viivat eivät ole parallel; jos ne ovat parallel, leikkauspistettä ei ole. Jos viivat ovat sama viiva, leikkauspisteitä on äärettömän monta. Kun huomioidaan käyrät, leikkauspisteet ratkaistaan f(x,y) = 0 ja g(x,y) = 0 -yhtälöparilla. Tulokset voivat olla olevia, useampia tai olemattomia. Tangentin tai monikertaisen leikkauksen tapauksissa leikkauspisteen kertaluku voi olla suurempi kuin 1.

Bezoutin teorian mukaan kahden polynomikäyrän leikkauspisteiden kokonaismäärä (kasvatus monikertaistumien mukaan) projektiorajatusympäristössä on deg f · deg g, olettaen yleisen aseman. Realistiset leikkauspisteet voivat kuitenkin olla vähemmän, ja niiden lukumäärä voi riippua asennoista ja symmetrioista.

Laskentamenetelmät vaihtelevat. Yhtälöiden substitution tai eliminoinnin kautta voidaan ratkaista x ja y. Kerrannaisyhtälöissä ja polynomialsissä voidaan käyttää tulonaarioita, resultanteja tai polynomien vastakäytäviä tekniikoita. Käytännössä käytetään sekä analyyttisiä että numeerisia menetelmiä, kun ratkaisut eivät ole sulkeutuvasti ilmaisuttavissa.

Esimerkkejä: Viivat y = 2x + 3 ja y = -x + 5 leikkaavat pisteessä (2/3, 13/3). Ympyrä x^2 + y^2 = 4 ja viiva y = x leikkaavat kahdessa pisteessä, esimerkiksi (√2, √2) ja (-√2, -√2).

Leikkauspisteet ovat keskeisiä geometrisissa kuvauksissa sekä järjestelmäpohjaisessa algebraopetuksessa ja niiden ymmärtäminen auttaa tilojen yhteisten ratkaisujen hahmottamisessa.