Leikkauspisteet

Leikkauspisteet ovat pisteitä, joissa kaksi geometrian kohdetta kohtaavat. Yleensä tarkastellaan kahden suoran, kahden käyrän tai suoran ja käyrän leikkauspisteitä, mutta ilmiöä sovelletaan myös pintoihin ja joukkioihin. Leikkauspiste määritetään yleensä ratkaisemalla kohteita kuvaavat yhtälöt yhteen.

Analyyttisessa geometriassa leikkauspisteet ratkaistaan yhtälöparin tai useamman yhtälön avulla. Esimerkiksi kahden suoran tapauksessa mitkä ovat pisteet, joissa ne esiintyvät samoissa koordinaatteissa. Jos suorat ovat differentiaalilinjaisia (m1 ≠ m2), ne leikkaavat pisteessä, jonka koordinaatit saadaan ratkaisemalla m1x + b1 = m2x + b2. Jos m1 = m2 ja b1 = b2, viivat ovat identtiset ja leikkauspisteitä on äärettömästi. Jos m1 = m2 mutta b1 ≠ b2, leikkauspistettä ei ole.

Esimerkki: y = 2x + 1 ja y = -x + 4. Ratkaistaan 2x + 1 = -x + 4, jolloin 3x = 3 ja x = 1. Sijoittamalla saadaan y = 3, jolloin leikkauspiste on (1, 3).

Ympyrän ja suoran tapauksessa ratkaisu jaetaan yhteen jos taulukko: ne voivat leikkauspisteessä 0, 1 tai 2 pistettä, riippuen siitä, missä kohdassa käyrä ja viiva kohtavat toisiaan.

Laajasti leikkauspisteestä puhutaan myös lineaarialgebrassa, jossa kahden algebran alijoukon leikkaus U ∩ V on kaikkien yhteisten vektorien joukko. Leikkauspisteiden laskeminen on usein ratkaiseminen yhtälölaskennan avulla.