límites

Los límites son un concepto fundamental en el análisis matemático que describe el valor al que se aproxima una función o una secuencia cuando la entrada o el índice se acerca a un punto dado o al infinito. En el caso de una función f, se escribe lim_{x→a} f(x) = L si, para todo ε>0, existe δ>0 tal que 0<|x−a|<δ implica |f(x)−L|<ε. Existen límites por la derecha y por la izquierda, lim_{x→a+} f(x) y lim_{x→a−} f(x). También hay límites en el infinito: lim_{x→∞} f(x) = L y lim_{x→−∞} f(x) = L. Análogamente, para una secuencia (a_n) se dice que lim_{n→∞} a_n = L si, para todo ε>0, existe N tal que n≥N implica |a_n−L|<ε.

Si el límite existe, se dice que la función o la secuencia se aproxima de manera estable al valor L cuando x se aproxima a a o n crece sin límite. El límite puede no existir por divergencia, oscilación o saltos; también puede divergir a ±∞.

Definiciones formales: para funciones, la definición ε–δ descrita arriba; para secuencias, la definición basada en N y la condición de que, para todo ε>0, existe N tal que n≥N implica |a_n−L|<ε.

Propiedades esenciales: los límites cumplen reglas de suma, producto y cociente (cuando el límite del denominador no es 0 cerca de a). Si f es continua en a, entonces lim_{x→a} f(x) = f(a). Si lim_{x→a} f(x) = L y g es continua en L, entonces lim_{x→a} g(f(x)) = g(L). Los límites justifican la definición de derivadas e integrales y permiten analizar la convergencia de series y sucesiones.

El concepto se consolidó en el siglo XIX a partir de Cauchy y Bolzano y permanece central en el rigor del cálculo.