kärnfunktionerna

Kärnfunktionerna, eller kerneler, är funktioner K: X × X → R som används inom statistik och maskininlärning för att mäta likhet mellan två indata eller för att beräkna inre produkter i ett högdimensionellt eller ofta implicit rum. Genom att visa att K(x,y) = ⟨φ(x), φ(y)⟩ för någon (möjlig) kartläggning φ till ett featuresrum kan man arbeta med icke‑linjära relationer utan att behöva explicit känna till φ. En viktig egenskap är att kärnfunktionerna vanligtvis är symmetriska och positiva semidefinita (PSD), vilket enligt Mercers sats garanterar att de motsvarar innerprodukter i ett vektorutrymme.

Vanliga exempel på kärnfunktioner inkluderar linear kernel K(x,y)=xᵀy, polynomial kernel K(x,y)=(γ xᵀy + c)ᵈ, och radiala basisfunktioner som Gaussian-/RBF-kärnan K(x,y)=exp(−||x−y||²/(2σ²). Andra exempel är Laplace-kärnan exp(−||x−y||/σ) och Cauchy-kärnan 1/(1+||x−y||²/σ²). Kärnfunktioner klassificeras ofta som stationära eller icke-stationära beroende på hur de beror på skillnaden eller de faktiska värdena av x och y.

Användningsområden inkluderar kerneltricket i maskininlärning, vilket gör det möjligt att träna algoritmer som stödvektormaskiner, kernel ridge-regression och kernel-PCA utan att explicit kunna φ. Kärnfunktioner används också inom kernel density estimation och andra smoothing‑ eller icke‑parametriska metoder. Viktiga praktiska överväganden är valet av kärntyp, skalning av data och val av parametrar såsom sigma eller γ, eftersom dessa påverkar modellens flexibilitet och prestanda.