kumulativfördelningar

Kumulativfördelningar, eller kumulativa fördelningsfunktioner (CDF), beskriver sannolikheten att en stokastisk variabel X antar ett värde som är mindre än eller lika med x. För varje x i det reella talområdet definieras F_X(x) som P(X ≤ x). De sammantagna funktionerna visar hur sannolikhet fördelas över värdemängden.

Egenskaperna hos en kumulativfördelning är centrala: F_X är icke avtagande och är högerkontinuerlig. Gränserna är 0 när x går mot −∞ och 1 när x går mot +∞. Om X har en täckande täthetsfunktion f_X ligger F_X(x) = ∫_{−∞}^x f_X(t) dt. Vid kontinuitet i X:s täthet finns också f_X(x) = dF_X/dx. Den inverterade CDF:n, quantilfunktionen F_X^{-1}(p), definieras vanligen som F_X^{-1}(p) = sup{x : F_X(x) ≤ p} för p i (0,1).

Exempel: För en uniform fördelning på [a,b] är F_X(x) = 0 för x<a, (x−a)/(b−a) för a≤x≤b och 1 för x≥b. För en exponentialfördelning med hastighet λ är F_X(x) = 0 om x<0 och F_X(x) = 1 − e^{−λx} för x≥0. Den standardnormala CDF:n Φ är välkänt men saknar sluten form och måste beräknas numeriskt.

Användning: kumulativfördelningar används för att beskriva sannolikheter, jämföra fördelningar, samt för att uppskatta kvantiler och genomföra tester som kolmogorativt test (KS-test). En empirisk CDF bygger på data som F_n(x) = (1/n) sum I{X_i ≤ x} och konvergerar mot den sanna CDFen när n ökar.