krzywe

Krzywe to jeden z podstawowych obiektów geometrii. W ogólnym sensie krzywa jest zbiorem punktów tworzących wyznaczoną trajektorię. W kontekście geometrycznym krzywe mogą być rozpatrywane jako obraz funkcji lub jako zestaw miejsc zależnych od parametrów. Na płaszczyźnie krzywe często opisuje się jako grafy funkcji y = f(x), jako równania F(x, y) = 0 lub parametrycznie x = x(t), y = y(t). W przestrzeni trójwymiarowej krzywe podawane są zwykle przez x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Najważniejsze klasy krzywych: proste, które mają równanie liniowe; krzywe algebraiczne, definiowane równaniem F(x, y) = 0 o stopniu n; krzywe parametryczne i polarne. W geometrii płaszczyzny wyróżnia się także krzywe gładkie i regularne, które mają nieskończone pochodne i niezerowy wektor styczny. W przestrzeni używa się krzywych opisanych parametrycznie przez współrzędne zależne od parametru t.

Do powszechnych przykładów należą prosta y = mx + b, okrąg x^2 + y^2 = r^2, parabola y = ax^2 + bx + c oraz elipsa x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. W układzie biegunowym krzywe opisane są jako r = f(theta), co obejmuje między innymi spirale. W grafice komputerowej popularne są krzywe Béziera i NURBS, które służą do modelowania krzywych i powierzchni.

Zastosowania krzywych obejmują matematykę teoretyczną i zastosowania inżynierskie, fizykę, informatykę, CAD/CAM i grafikę komputerową. Ich badanie obejmuje właściwości geometryczne, analityczne i numeryczne, a także metody przybliżania i przetwarzania danych krzywych.