korskopplingsmatrix

Korskopplingsmatrisen beskriver hur olika delsystem eller frihetsgrader i ett multivariant system påverkar varandra. Den används inom mekanik, elektroteknik och reglerteknik för att beskriva hur en signal eller ett tillstånd i ett delsystem påverkar andra delar av systemet. I en linjär modell kan dynamiken skrivas i blockform, där korskopplingsdelen uppträder som de icke-diagonala blocken och anger hur tillstånd från ett delsystem matar in i ett annat.

Notation och tolkning: Om tillståndet delas upp i två delar x1 och x2 och deras tidsutveckling skrivs ẋ1 = A11 x1 + A12 x2, ẋ2 = A21 x1 + A22 x2. Här är A12 och A21 korskopplingsmatriserna. Om korskopplingsblocken är noll blir delsystemen oberoende i den linjära approximationen. Om blocken är icke-noll och inte diagonalt uppträder tydlig koppling mellan delsystemen och systemets respons påverkas av varandra.

Exempel: Mekanik – två sammankopplade oscillatorer beskrivs ofta med en styvhetsmatris där de ömsesidiga kopplingarna mellan koordinaterna uppträder som k12 och k21 i styvhetsmatrisen. Elektriska nätverk – ömsesidig induktans mellan två kretsar ger korskoppling som kan beskrivas av en korskopplingsmatris. Reglerteknik – flera kanaler eller axlar kan påverka samma kontrollsignal eller var och en av flera aktuatorer kan påverka flera koordinater, vilket ger en icke-diagonal struktur i tillstånds- eller inmatningsmatriserna.

Betydelse: Storleken och mönstret på korskopplingarna avgör hur snabbt och hur mycket ett fel eller en påverkan i ett delsystem sprider sig till andra delar. I praktiken kan man ofta avlägsna eller minska korskopplingar genom koordinatomvandling eller modalanalys för decoupling eller förenkling av modellen.

Beräkning och identifikation: Korskopplingsmatrisen kan härledas från fysiska lagar eller genom systemidentifikation från data, exempelvis regression eller subspace-metoder. Den används också i analys och design av dynamiska system för att förstå och optimera responsen.