kompleksimuotoa

Kompleksimuotoa tarkoitetaan kompleksiluvun esittämistä muodossa z = a + bi, jossa a ja b ovat todellisia lukuja ja i on imaginääriyksikkö, jonka i^2 = -1. Reaali osa on a ja imaginaari-osa on b. Jokaisella kompleksiluvulla on tällainen yksikäsitteinen esitys, ja kompleksimuotoa käytetään laajasti sekä teoreettisessa että soveltavassa matematiikassa.

Reaali- ja imaginääriosan erottaminen mahdollistaa eri muotojen käyttämisen. Moduuli (magnitude) on |z| = sqrt(a^2 + b^2) ja argumentti (kulma) on θ = Arg(z), jonka z muodostaa Argand-tasolla. Polar muoto kirjoitetaan z = r(cos θ + i sin θ) tai z = re^{iθ}. Näiden muotojen välillä muunnokset ovat: a = r cos θ ja b = r sin θ.

Toiminnot kompleksimuodossa: Yhteen- ja vähennys (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. Kertolasku (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Jakaminen (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)]/(c^2 + d^2), kun c^2 + d^2 ≠ 0. Konjugaatio z̄ = a - bi ja z z̄ = |z|^2. De Moivre'n teoreema: (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ). Eulerin kaava: e^{iθ} = cos θ + i sin θ.

Käyttökohteet ja geometria: Kompleksimuotoa käytetään laajasti polynomiyhtälöiden juurten tutkimisessa, signaalinkäsittelyssä, fysiikassa ja sähkötekniikassa. Argand-tasolla kompleksiluvut esittävät pisteitä tai vektoreita, ja polarimuoto tarjoaa usein suoraviivaisen käsittelyn kulmien ja etäisyyksien kautta.