imaginääriyksikkö

Imaginääriyksikkö, jota yleensä merkitään i (ja joka tunnetaan myös nimellä imaginaariyksikkö), on matemaattinen käsite, jota käytetään kompleksilukujen yhteydessä. Se on luku, joka toteuttaa i^2 = -1. Tämän vuoksi i ei ole reaalinen luku, ja sen avulla ratkaistaan polynomeja kuten x^2 + 1 = 0.

Kompleksiluvut muodostuvat muotoa z = a + bi, jossa a ja b ovat reaalilukuja. Imaginaariyksikkö i mahdollistaa imaginaari-osan erottamisen reaaliosasta ja yleisen kirjoittamisen. i:n potenssit muodostavat kiertokulun: i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, jne.

Geometrinen tulkinta tapahtuu kompleksitasossa: z = a + bi vastaa pistettä (a, b). Multiplikointi i z vie koordinaatit 90 asteen kiertoon; esimerkiksi i(a + bi) = -b + ai. Modulus ja argumentti määrittävät z’n pituuden ja suunnan: |z| = sqrt(a^2 + b^2) ja arg(z) = atan2(b, a). Kompleksikonjugaatio on z̄ = a − bi ja z z̄ = |z|^2.

Käytännössä imaginääriyksikkö mahdollistaa monien laskujen ja hahmotelmien yleistämisen. Se on keskeinen osa reaalilukujen laajennusta ja toimii avaimena monien polynomien juurien olemassaololle (fundamental theorem of algebra). Käytännön sovelluksia on matematiikassa, fysiikassa, elektroniikassa ja signaalinkäsittelyssä. Englantilaisissa ja teknisissä yhteyksissä i:tä joskus korvataan kirjaimella j sähkötekniikassa, jotta se ei sekoittuisi virran symboleihin.