kompleksiarvoista

Kompleksiarvoista tarkoittaa sitä, että tarkasteltujen määrien tai ilmaisujen arvot ovat kompleksilukuja. Kompleksiluku on muoto z = a + bi, jossa a ja b ovat todellisia lukuja ja i on imaginaariyksikkö, jolla i^2 = -1. Kompleksilukujen joukkoa denotoidaan yleisesti C.

Kompleksiarvot voivat yhdistyä, vähentää, kertoa ja jakaa (ei nollalla jakamista) kuten reaaliluvut, jolloin muodostuu reaalivalvalla kenttä. Misa z = a + bi ja z* = a - bi on kompleksinen konjugaatio. Moduuli moduuli z on |z| = sqrt(a^2 + b^2). Z:in posiiton saa kuvatuksi myös polaarimuodossa z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ}, missä r ≥ 0 ja θ on kulma. Eulerin lauseke e^{iθ} mahdollistaa trig-funktioiden korvaamisen eksponentiaalimuodolla.

Kompleksiarvoista funktiot ovat funktioita f: D → C, joille jokainen syöte antaa kompleksilukuarvon. Niiden jatkuvuus ja derivoituvuus määritellään kuten reaalifunktioissa, mutta kompleksifunktioiden derivoituvuus johtaa usein voimakkaisiin tuloksiin (holomorfisuus). Holomorfiset funktiot ovat ratkaisevassa asemassa kompleksianalyysissä ja niissä sovelletaan Cauchy–Riemaun, Taylorin ja Laurentin sarjoja sekä muutoksia kompleksitasossa.

Sovelluksia on laajasti: signaalinkäsittelyssä kompleksiarvot voivat kuvata sekä amplitudia että vaihetta, Fourier- ja Laplace’n muunnokset hyödyntävät kompleksilukuja; kvanttifysiikassa aaltofunktiot ovat kompleksiarvot; kontrollointi- ja järjestelmäteoriassa kompleksimuodot voivat yksinkertaistaa laskentaa.

Näin ollen kompleksiarvoisuus on keskeinen käsite matematiikassa ja sen sovelluksissa, tarjoten sekä laajan teorian että käytännön työkaluja.