kompleksianalyysissä

Kompleksianalyysi on matematiikan ala, joka tutkii funktioita, joiden arvot ja/tai argumentit ovat kompleksilukuja. Se on keskeinen osa analyysiä ja sillä on laajoja sovelluksia fysiikassa, insinööritieteissä ja muilla aloilla. Kompleksianalyysin perustana ovat kompleksiluvut, jotka esitetään muodossa a + bi, missä a ja b ovat reaalisukuja ja i on imaginääriyksikkö, jolle pätee i^2 = -1.

Kompleksifunktion käsite on laajennus reaalifunktioiden käsitteestä. Kompleksifunktion f(z) derivaatta määritellään samankaltaisesti kuin reaalifunktioiden derivaatta, mutta kompleksilukujen ominaisuudet tuovat mukanaan uusia piirteitä. Funktion sanotaan olevan analyyttinen tai holomorfinen tietyssä pisteessä, jos se on derivoituva kyseisessä pisteessä ja sen ympäristössä. Analyyttisillä funktioilla on erittäin vahvoja ominaisuuksia, kuten ne ovat äärettömän monta kertaa derivoituvia ja ne voidaan esittää Taylorin sarjana.

Keskeisiä käsitteitä kompleksianalyysissä ovat polkuintegraalit, Cauchyn integraalilause, Cauchyn integraalikaava ja residylause. Polkuintegraalit ovat integraaleja kompleksitasossa kulkevaa polkua pitkin. Cauchyn integraalilause sanoo, että analyyttisen funktion integraali suljetun polun yli on nolla. Cauchyn integraalikaava antaa analyyttisen funktion arvot ja sen derivaatat pisteessä polun avulla, joka ympäröi kyseistä pistettä. Residylause on tehokas työkalu tiettyjen integraalien laskemiseen, ja se perustuu funktion singulaarisuuksien eli napojen tutkimiseen. Kompleksianalyysi tarjoaa syvällisen ymmärryksen monista matemaattisista ja fysikaalisista ilmiöistä.