reaalifunktioiden

Reaalifunktioiden käsitteellä tarkoitetaan yleensä funktioita, joiden määrittelyjoukko ja arvot ovat reaalilukuja tai niiden alajoukkoja. Tavallisin tapa esittää tällainen funktio on f: A -> R, missä A ⊂ R. Erityistapauksena puhutaan usein yhdestä reaalimuuttujasta riippuvista funktioista, f(x), jotka määrittävät arvon kullekin x:lle määrittelyjoukossa.

Reaalifunktiot voidaan luokitella monin tavoin: jatkuvuuden, derivoituvuuden, integroinnin, monotoniisuuden, rajoittuneisuuden ja jaksollisuuden mukaan. Jatkuvuus ja raja-arvot ovat keskeisiä analyysin käsitteitä, joiden avulla tutkitaan funktioiden käyttäytymistä pisteissä ja äärettömyydessä. Derivaatta kuvaa paikallista muutosnopeutta ja integraali kertymää, ja nämä ovat analyysin perusrakenteita.

Perusoperaatioita reaalifunktioille ovat yhteen- ja kertolasku, yhdistäminen (kompositio) sekä käänteisfunktion muodostaminen, kun funktio on bijektio sopivilla rajoituksilla. Funktiot esitetään usein graafisesti koordinaatistossa, jolloin niiden geometrinen tulkinta helpottaa ominaisuuksien ymmärtämistä.

Tyypillisiä esimerkkejä ovat polynomit, rationaalifunktiot, trigonometriset funktiot, eksponentti- ja logaritmifunktiot sekä paloittain määritellyt funktiot. Reaalifunktiot ovat keskeisiä sovelluksissa kuten fysiikassa, taloustieteissä ja insinööritieteissä sekä teoreettisessa matematiikassa, erityisesti reaalianalyysissä ja differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Lisäksi mitattavat ja lähes kaikkialla määritellyt funktiot ovat tärkeitä todennäköisyys- ja mittateoriassa.