Kompleksiluku

Kompleksiluku, usein merkitty muodossa a + bi, on luku, jossa on sekä todellinen osa a että imaginääriosa b. Tässä i on imaginääriyksikkö, jolla i^2 = -1. Jos b on nolla, luku on reaalinen; jos a on nolla, luku on täysin imaginaarinen. Kompleksiluvut laajentavat reaaliakselia ja niitä voidaan käsitellä sekä graafisesti että algebraisesti.

Peruslaskut: yhteen- ja vähennyslasku sekä kertominen ja jakaminen noudattavat seuraavia muotoja: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i ja (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i. Tulo on (ac - bd) + (ad + bc)i, ja jakaminen (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)]/(c^2 + d^2) kun c^2 + d^2 ≠ 0. Kompleksikonjugaatio on a - bi. Modulus r = sqrt(a^2 + b^2) ja argumentti θ = atan2(b, a). Polarimuoto on r(cos θ + i sin θ) tai r e^{iθ}.

Geometrisesti kompleksiluvut voidaan esittää kompleksitasolla pisteinä (a, b), missä luku a + bi vastaa pistettä tai vektoria. Modulus mittaa etäisyyttä origosta ja argumentti määrittää luvun kulman suhteessa reaaliselle akselille. Polarimuoto mahdollistaa monien operaatioiden suorittamisen helpommin ja tuo yhteyden eksponentiaaliseen muotoon.

Merkitys ja sovellukset: kompleksiluvut muodostavat kentän, jossa jokaisella ei-nollalla luvulla on käänteisluku. Ne ovat keskeisiä kompleksianalyysissä, Fourier-analyysissä sekä signaalinkäsittelyssä ja ne esiintyvät luonnollisesti monien polynomien juurten ja ratkaisujen tutkimuksessa.