kompleksifunktioiden

Kompleksifunktiot ovat funktioita, joiden sekä määrittelyjoukko että maalijoukko ovat kompleksilukujen joukkoja. Toisin sanoen, ne kuvaavat kompleksilukuja toisiin kompleksilukuihin. Yleisesti kompleksifunktio f merkitään muodossa f(z), missä z on kompleksiluku. Koska kompleksiluku z voidaan esittää muodossa x + iy, missä x on reaaliosa ja y imaginaariosa, voidaan kompleksifunktiota f(z) tarkastella kahden reaalimuuttujan funktiona: f(z) = u(x, y) + iv(x, y), missä u ja v ovat reaaliarvoisia funktioita muuttujista x ja y.

Kompleksifunktioiden tutkimus on keskeinen osa kompleksianalyysia. Tärkeitä käsitteitä ovat muun muassa holomorfiset funktiot, jotka ovat kompleksifunktioita, jotka ovat derivoituvia jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä. Holomorfiset funktiot toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, jotka ovat välttämättömiä ehtoja funktiolle olla holomorfinen. Analyyttiset funktiot ovat funktioita, jotka voidaan esittää potenssisarjana suppenemissaan. Kompleksianalyysissä osoittautuu, että holomorfiset funktiot ovat aina analyyttisiä.

Kompleksifunktioilla on monia sovelluksia eri tieteenaloilla, kuten fysiikassa (esimerkiksi potentiaaliteoria, virtausten mekaniikka), insinööritieteissä ja lukuteoriassa. Niitä käytetään myös tietynlaisten integraalien laskemisessa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä yleisistä kompleksifunktioista ovat eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot ja potenssifunktiot, jotka kaikki voidaan laajentaa kompleksialueelle.