jäännösluvut

Jäännösluvut, myös tunnettuina nimellä *residuumit* tai *moduloarvot*, ovat matemaattisia käsitteitä, jotka liittyvät jakojäännöksiin kokonaislukujen jaettua toisiaan vastaan. Käsite on keskeinen lukuteoriassa ja tietojenkäsittelyssä, erityisesti algoritmien ja kryptografian sovelluksissa.

Jäännösluku kuvaa, kuinka paljon jakojäännöksenä jää, kun jakolaskussa jaettava luku jaetaan jakajalla. Matemaattisesti, jos jakolaskussa jaettava on *a* ja jakaja on *b*, niin jäännösluku *r* määritellään yhtälöllä *a = b·q + r*, missä *q* on kokonaisluku ja *0 ≤ r < b*. Esimerkiksi, kun 17 jaetaan 5:llä, tuloksena on 3, koska 17 = 5·3 + 2, joten jäännösluku on 2.

Jäännösluvut ovat perustana modulo-operaatiolle, joka on keskeinen käsite tietokoneohjelmistoissa ja algoritmeissa. Modulo-operaattori (esimerkiksi `%` monissa ohjelmointikielissä) palauttaa jäännösluvun kahden kokonaisluvun jakojäännöksenä. Modulo-operaatio on erityisen tärkeä esimerkiksi syklisten prosessien hallinnassa, kuten ajastimissa tai tietojen jakamisessa tasaisesti useiden prosessien kesken.

Jäännösluvut ovat myös keskeisiä lukuteorian sovelluksissa, kuten primilukujen tutkimuksessa ja kryptografian algoritmeissa, kuten RSA- ja Diffie-Hellman-salausmenetelmissä. Ne mahdollistavat esimerkiksi suuren kokonaisluvun käsittelyn ja laskemisen helposti, vaikka itse luvut olisivatkin hyvin suuria. Jäännösluvut ovat myös hyödyllisiä tietokonegrafiikassa ja tietokonepelien kehityksessä, esimerkiksi kolmiulotteisten koordinaattien laskemisessa ja geometrisissa laskelmissa.