itseisarvoepäyhtälöt

Itseisarvoepäyhtälöt ovat matemaattisia epäyhtälöitä, joissa esiintyy itseisarvofunktio. Itseisarvo, merkittynä yleensä pystyviivoilla $|x|$, kertoo luvun etäisyyden nollasta positiivisena arvona. Esimerkiksi $|3| = 3$ ja $|-3| = 3$.

Yleisimpiä itseisarvoepäyhtälöitä ovat muotoa $|x| < a$, $|x| \le a$, $|x| > a$ ja $|x| \ge a$, missä $a$ on positiivinen vakio. Epäyhtälö $|x| < a$ on yhtäpitävä epäyhtälöparin $-a < x < a$ kanssa. Tämä tarkoittaa, että ratkaisujoukko koostuu kaikista luvuista $x$, jotka ovat välillä $-a$ ja $a$ (ei mukaan lukien päätepisteitä).

Epäyhtälö $|x| \le a$ on yhtäpitävä epäyhtälöparin $-a \le x \le a$ kanssa, ja sen ratkaisujoukko sisältää myös päätepisteet. Epäyhtälö $|x| > a$ on yhtäpitävä kahden erillisen epäyhtälön $x > a$ tai $x < -a$ kanssa. Sen ratkaisujoukko on siis $(-\infty, -a) \cup (a, \infty)$. Vastaavasti $|x| \ge a$ on yhtäpitävä epäyhtälöiden $x \ge a$ tai $x \le -a$ kanssa.

Itseisarvoepäyhtälöitä ratkaistaessa on tärkeää huomioida itseisarvon määritelmä ja sen vaikutus epäyhtälön merkkiin. Joskus epäyhtälö voi sisältää myös itseisarvon sisällä olevia lausekkeita, jotka eivät ole vain yksinkertaisia muuttujia. Näissä tapauksissa voidaan joutua tarkastelemaan eri tapauksia muuttujan arvoista riippuen. Yleinen tapa ratkaista monimutkaisempia itseisarvoepäyhtälöitä on jakaa ne eri tapauksiin sen perusteella, milloin itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen.