iterazioni

Iterazioni è il processo di ripetizione di una procedura o di una funzione al fine di avvicinarsi a una soluzione o a un valore stabile. In matematica e informatica, l’iterazione implica una sequenza di passi in cui a ogni passo si aggiorna uno stato o una variabile in base allo stato precedente.

Nella matematica numerica, le tecniche iterative sono utilizzate per risolvere equazioni non lineari o sistemi di equazioni. Tra i metodi più comuni vi sono il metodo di punto fisso, Newton-Raphson, Gauss-Seidel e Jacobi. Anche la procedura di bisezione è considerata un metodo iterativo per trovare radici di una funzione, in quanto procede per intervalli successivi restringendoli fino a una tolleranza desiderata. L’efficacia di un metodo iterativo dipende dalla convergenza: una sequenza converge se tende a una soluzione x*, spesso entro una curva di Lipschitz o con un tasso di convergenza definito.

Aspetti chiave includono la scelta della condizione iniziale, la stabilità della procedura e l’ordine di convergenza. Un’accurata analisi dell’errore di iterazione permette di stimare quante iterazioni servono e quali tolleranze sono ragionevoli. In informatica, l’iterazione è associata ai cicli di controllo come for e while, che eseguono un insieme di istruzioni ripetutamente fino a una condizione di terminazione. È fondamentale evitare loop infiniti fissando criteri chiari e, talvolta, un numero massimo di iterazioni.

Il concetto è anche presente in processi di sviluppo e design iterativo, dove soluzioni successive vengono progettate e testate in cicli brevi per migliorare progressivamente risultati e prestazioni.