isometriakäsitteeseen

Isometria on käsite geometriassa ja laajemmin matematiikassa, jossa olennaisinta on etäisyyksien säilyminen. Olkoot X ja Y metrisiä tiloja ja f: X → Y isometria, jos d_Y(f(x1), f(x2)) = d_X(x1, x2) kaikille x1, x2 ∈ X. Tällöin muunnos ei muuta minkään kahden pisteen välistä etäisyyttä.

Jos X = Y ja d_X = d_Y, isometria on kartta X → X, joka säilyttää kaikki etäisyydet. Isometria on yleensä injektio, ja tietyissä tilanteissa se voi olla myös surjektio; surjektivoitunut isometrian ryhmä muodostaa silloin täydellisen “isometrisen” symmetrioiden joukon.

Euclidean tiloissa (R^n) isometrioita voidaan luonnehtia yhtäläisinä rigid motion -toiminnoille: ne koostuvat siirroista, kiertäminen ja peilaus sekä niiden yhdistelmistä. Teoreemallisesti jokainen isometria voidaan esittää muodossa f(x) = Rx + b, missä R on ortogonaalinen matriisi ja b vektori. Tämä tarkoittaa, että isometria säilyttää sekä etäisyydet että.

Isometrioiden käsite liittyy suoraan esineiden congruenttiuteen ja geometrian todistamiseen: kaksi figuuria ovat isometrisesti sama kuin ne ovat toisilleen congruentteja. Käytännössä isometrioita hyödynnetään muun muassa geometriassa, tietokonegrafiikassa, kuvankäsittelyssä ja mittauksissa, joissa muutos ei saa muuttaa mitattavia etäisyyksiä.

Isometria-termin yleinen merkitys korostuu metric spaces -kontekstissa sekä tieteellisissä malleissa, joissa etäisyyksien säilyminen on olennaista.