irrationaaliluvun

Irrationaaliluku on reaaliluku, jota ei voida esittää kahden kokonaisluvun, p/q, suhteena, missä p on kokonaisluku ja q on nollasta poikkeava kokonaisluku. Toisin sanoen, irrationaaliluvun desimaaliesitys on päättymätön eikä jaksollinen.

Tunnetuimpia irrationaalilukuja ovat pii (π), joka on ympyrän kehän suhde sen halkaisijaan, ja Neperin luku (e), jota käytetään luonnollisessa logaritmissa ja monissa korkeamman matematiikan yhteyksissä. Myös monien kokonaislukujen neliöjuuret, jotka eivät ole täydellisiä neliöitä, kuten √2 ja √3, ovat irrationaalilukuja.

Irrationaaliluvut olivat matematiikan historiassa merkittävä löytö. Antiikin kreikkalaiset, erityisesti Pythagoraan koulukunta, uskoivat kaiken olevan esitettävissä rationaalilukujen avulla. Neliöjuuren √2 löytäminen osoitti tämän uskomuksen virheelliseksi ja johti syvällisiin matemaattisiin ja filosofisiin pohdintoihin.

Matemaattisessa analyysissä ja monilla muilla aloilla irrationaaliluvuilla on keskeinen rooli. Ne täydentävät rationaalilukujen joukon muodostaen kaikki reaaliluvut, jotka muodostavat lukusuoran. Irrationaalilukujen olemassaolo takaa lukusuoran jatkuvuuden ja mahdollistaa esimerkiksi jatkuvien funktioiden ja derivaattojen käsittelyn. Vaikka niitä ei voi esittää tarkasti murtolukuna, niitä voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti rationaaliluvuilla.