integrimuuttujien

Integrimuuttujien käsite liittyy siihen, minkä muuttujan suhteen integraali lasketaan. Yleisessä muodossa ∫ f(x) dx käyttää x:ää integraalimuuttujana. Indefiniittinen integraali tuottaa antiderivaatan F(x) + C, kun taas määritelty integraali ∫_a^b f(x) dx laskee luvun, joka riippuu sekä funktiosta että rajoista, ei muuttujan nimestä.

Kun käsitellään useita muuttujia, voidaan kirjoittaa esimerkiksi ∫∫ f(x, y) dx dy. Tässä kummankin muuttujan mukaan lasketaan erikseen integroitava osuus, ja rajoja voidaan asettaa sekä yksittäisille muuttujille että koko kertolaskulle. Useasti käytetään iteratiivista lähestymistapaa, jossa ensin integroidaan toisen muuttujan suhteen ja sitten toisen.

Muuttujan nimeä voidaan vaihtaa ilman tuloksen muuttumista. Esimerkiksi ∫_a^b f(x) dx voidaan kirjoittaa myös ∫_a^b f(t) dt, jolloin tulos on sama, kunhan rajat ja funktion riippuvuus muuttujasta huomioidaan. Tämä dummy-variable-periaate helpottaa symbolista manipulointia.

dx, dy, dt ja muut vastaavat merkit ilmaisevat integraalimuuttujan lisäksi differentiaalia; ne ovat osa notaatioa, eivät itsearvoisia erät. Ne kertovat, millä muuttujalla integraali suoritetaan, ja vaikuttavat myös monimutkaisemmissa muunnoksissa, kuten u-substitutionissa: jos x = g(u), dx = g'(u) du ja ∫ f(x) dx muuttuu ∫ f(g(u)) g'(u) du.

Yleisesti integimuuttujien käsite on keskeinen osa erilaisten summien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskemista sekä erilaisten muunnosten hallintaa matematiikassa.