injectività

L'injectività è una proprietà di una funzione f: A → B che garantisce che input distinti siano mappati in output distinti. In altre parole, f è iniettiva se, per ogni a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2) implica a1 = a2. Equivalente: se a1 ≠ a2, allora f(a1) ≠ f(a2).

Un modo equivalente di vederla è tramite le fibre: per ogni b ∈ Im(f), il sottinsieme f^{-1}({b}) contiene al massimo un elemento. In particolare, non esistono due elementi diversi di A che hanno la stessa immagine.

Esempi: la funzione f(x) = x^3 su R è iniettiva. La funzione f(x) = x^2 su R non è iniettiva, ma restringendo il dominio a [0, +∞) diventa iniettiva. In algebra è spesso utile pensare alle iniezioni come a funzioni che non "collassano" elementi distinti.

In algebra lineare, una trasformazione lineare T: V → W è iniettiva se e solo se il kernel di T è {0}. In geometria, una mappa tra spazi vettoriali è iniettiva se preserva la distinzione tra vettori non nulli.

Relazione con l'invertibilità: una funzione è iniettiva se esiste una inversa sinistra definita su Im(f). Se, inoltre, f è suriettiva su B, allora è bijettiva e possiede un’inversa biunivoca.

Note: l'iniettività non implica suriettività; domini e codomini differenti possono cambiare la proprietà. Nelle funzioni non numeriche è la stessa definizione: f(a) = f(a') implica a = a'.