suriettiva

Suriettiva è un termine usato in matematica per descrivere una funzione che copre completamente il codominio. Più precisamente, una funzione f: A → B è suriettiva se per ogni elemento y in B esiste almeno un elemento x in A tale che f(x) = y. In altre parole, l’immagine di f è l’intero codominio B.

La suriettività è una proprietà distinta dall’iniettività. Una funzione può essere suriettiva senza essere iniettiva (ad esempio, f: {1,2} → {a} definita da f(1) = a, f(2) = a è suriettiva ma non iniettiva). Può anche essere sia suriettiva sia iniettiva (cioè bijettiva). Se f è suriettiva, ogni elemento del codominio ha almeno un preimmagine nel dominio.

Esempi:

- f: R → R, f(x) = x^3 è suriettiva, perché per ogni y reale esiste x reale con x^3 = y.

- f: R → R, f(x) = x^2 non è suriettiva se il codominio è R, poiché i numeri negativi non hanno preimmagine. Se il codominio è (0, ∞), allora è suriettiva.

- f: Z → Z, f(n) = n + 1 è suriettiva (e in effetti bijettiva).

Proprietà e caratterizzazioni:

- f è suriettiva se e solo se esiste una funzione g: B → A detta inversa destra tale che f ∘ g = id_B.

- In insiemi finiti, una funzione f: A → B è suriettiva se e solo se |A| ≥ |B|, e se |A| = |B| allora è anche iniettiva (da cui è bijettiva).

Utilizzi: la suriettività è centrale nello studio delle immagini, delle gauge e delle relazioni tra insiemi, e gioca un ruolo chiave nelle dimostrazioni che riguardano l’esistenza di soluzioni in equazioni o di funzioni inverse.