indikatorfunktion
Indikatorfunktion, auch als charakteristische Funktion bezeichnet, ist eine Funktion, die die Zugehörigkeit eines Elements zu einer Teilmenge kennzeichnet. Sei X eine Menge und A ⊆ X. Dann ist die Indikatorfunktion 1_A: X → {0,1} definiert durch 1_A(x) = 1, falls x ∈ A, und 0, falls x ∉ A. Manchmal wird auch die Schreibweise χ_A verwendet.
- 1_A^2 = 1_A, 1_A nimmt nur die Werte 0 oder 1 an und funktioniert wie ein Schalter.
- Für zwei Mengen A, B gilt: 1_{A∪B} = 1_A + 1_B − 1_A 1_B und 1_{A∩B} = 1_A 1_B. Außerdem
- Indikatorfunktionen dienen oft als einfache messbare Funktionen. Jede einfache Funktion lässt sich als endliche Summe von
- Integration: Für eine messbare Funktion f gilt ∫_X f(x) 1_A(x) dμ = ∫_A f dμ. Damit ersetzt
- Wahrscheinlichkeit: In einem Wahrscheinlichkeitssystem ist 1_A der Indikator eines Ereignisses A; E[1_A] = P(A) und Varianz etc.
- Reine Analysis: Indikatorfunktionen sind die einfachsten nicht-trivialen messbaren Funktionen. Jede einfache Funktion kann als Summe c_k
- Beispiele: 1_{[0,1]}(x) ist 1, wenn x im Intervall [0,1] liegt, sonst 0; 1_{A} wird auch als χ_A
Begriffe: Der Ausdruck Indikatorfunktion ist synonym zu charakteristischer Funktion von A. In verschiedenen Kontexten findet man