inbäddningar

Inbäddningar är ett centralt begrepp inom topologi och differentialgeometri som beskriver hur ett utrymme kan identifieras med en del av ett annat utrymme på ett sätt som bevarar den topologiska strukturen.

En topologisk inbäddning är en injektiv kontinuerlig karta f: M → N som ger M den samma topologiska struktur som bilden f(M) när den betraktas som en delmängd av N med subrumtopologin. Med andra ord är f en homeomorfism mellan M och bilden f(M). Inbäddningen kräver alltså inte bara kontinuitet och injektivitet utan även att den ombildade bilden får rätt underliggande topologi.

Inom differentialgeometrin talar man om en glättig (eller smooth) inbäddning. Om M och N är glättiga mångfalder är en sådan inbäddning en glatt karta f: M → N som är en immersion (differentialen är injektiv vid varje punkt) och samtidigt en homeomorfism mellan M och bilden f(M) med submanifold-topologin. I detta fall är f(M) en underliggande mångfald i N (en under-mångfald).

Exempel på inbäddningar är inklusionen av en submanfold i en större mångfald, till exempel inklusionen av cirkeln S^1 i planet R^2 som ett område längst cirkeln; eller kartan t ↦ (t, 0) från R till R^2, som är en inbäddning. Ett exempel som inte är en inbäddning är kurvan t ↦ (cos t, sin t) från R till R^2, eftersom den inte är injektiv och därmed inte uppfyller krav på en inbäddning.

Fler resultat och begrepp relaterade till inbäddningar inkluderar villkoren för när en injektiv immersion är en inbäddning, samt satsen om Whitney-embedding som säger att varje kompakt glättig n-mångfald kan inbäddas i R^{2n} (och i många fall i R^{2n+1}). Inbäddningar används för att definiera submanifolds, lokala koordinatsystem och geometriska egenskaper hos större rum.