imaginäre

Imaginäre Zahlen sind Zahlen, deren Quadrat negativ ist. In der üblichen Darstellung wird die imaginäre Einheit mit i bezeichnet, die die Eigenschaft i^2 = -1 erfüllt. Eine allgemeine komplexe Zahl hat die Form z = a + bi mit reellem Anteil a und imaginärem Anteil b. Das System der komplexen Zahlen erweitert die reellen Zahlen um diese neue Komponente und bildet den Körper C, der aus allen Zahlen a + bi mit a, b in R besteht.

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer Division durch 0) gelten wie gewohnt; das komplexe Konjugierte z̄ = a - bi hat die Eigenschaft z z̄ = |z|^2, wobei |z| = sqrt(a^2 + b^2) der Betrag ist. Der Betrag gibt die Entfernung vom Ursprung im Complex Plane an. Der Argumentwinkel θ erfüllt z = |z| e^{iθ} und wird durch den Winkel zur Realachse beschrieben.

Geometrisch entspricht Multiplikation mit i einer 90-Grad-Drehung; das Argument addiert sich unter Multiplikation. Euler's Formel e^{iθ} = cos θ + i sin θ verbindet exponentielle Darstellung mit trigonometrischer Form und ermöglicht die Darstellung von komplexen Zahlen als r(cos θ + i sin θ) oder als r e^{iθ}.

Historisch entstanden die imaginären Konzepte im Verlauf der Lösung von Gleichungen im 16. und 17. Jahrhundert; der Begriff imaginär stammt von Descartes, während später Gauss, Euler und andere die komplexe Ebene und das Zahlengefüge formalisiert haben. Anwendungen finden sich in Elektronik, Signalverarbeitung, Quantenmechanik, Computergrafik und vielen Bereichen der Mathematik, insbesondere beim Lösen von Polynomgleichungen und in der Analysis. Imaginäre Zahlen sind ein zentraler Baustein der komplexen Zahlen und damit der modernen Mathematik.