identiteettielementti

Identiteettielementti on algebraisen rakenteen alkio, jonka avulla binäärinen operaatio pysyy muuttumattomana: kaikille a vastaan e · a = a ja a · e = a. Joskus puhutaan vasemmasta identiteetistä (e · a = a) tai oikeasta identiteetistä (a · e = a). Kun molemmat ominaisuudet toteutuvat kaikille a, puhutaan yksinkertaisesti identiteettielementistä.

Identiteettielementti on käytännössä aina yksikäsitteinen: jos sellainen e ja toinen sellainen e′ sekä e · a = a = a · e ja e′ · a = a = a · e′ kaikille a, niin e = e′. Tämä pätee erityisesti assosiatiivisissa rakenteissa, kuten ryhmissä, monoideissa ja diohjelmaisissa algebrallisissa settingeissä.

Yleisimmät esimerkit liittyvät tuttuun aritmetiikkaan ja funktioihin. (Z, +) -joukossa identiteetti on 0, sillä a + 0 = 0 + a = a kaikille a. (Z, ×) -joukossa identiteetti on 1. Merkkijonojen yhdisteyksessä identiteetti on tyhjä merkkijono, ja funktioiden koostamisessa identiteettifunktio id(x) = x toimii identiteettina. Matriisien kertolaskussa identiteettinä toimii identiteettimatriisi I, jolla I·A = A·I = A kaikille matriiseille A.

Monet rakenteet eivät sisällä identiteettielementtiä. Esimerkiksi joissakin semigraapeissa tai ilman identiteettiä olevissa rengasrakenteissa identiteettiä ei ole. Identiteetti on kuitenkin tärkeä käsite inversioiden määrittelyssä: alkio a on käänteinen, jos sillä on b siten, että a · b = e ja b · a = e.