ickekommuterande

Ickekommuterande (icke-kommuterande) beskriver egenskapen hos två operationer eller objekt att de inte är oberoende av ordningen i vilken de genomförs. Om AB ≠ BA är de icke-kommuterande; motsatsen kallas kommutativ. Fenomenet uppträder i många algebraiska strukturer där produkten i olika ordningar ger olika resultat, som i matriser eller differentialoperatorer.

I linjär algebra används ofta begreppet kommutatorn [A,B] = AB − BA för att mäta graden av ickekommutativitet mellan två endomorfier eller matriser. Om kommutatorn är noll är A och B kommutativa med varandra; annars är de icke-kommuterande.

Exempel: Pauli-matrisernas produkter ger σx σy = i σz och σy σx = −i σz; därmed [σx, σy] = 2i σz ≠ 0. Ett annat klassiskt exempel är position och rörelsemängd i kvantmekanik, där [x,p] = iħ ≠ 0.

Fysiskt innebär icke-kommuterande observabler att deras värden inte kan mätas exakt samtidigt med oändlig precision; detta ligger till grund för Heisenbergs osäkerhetsrelation. Om två observabler inte kommuterar kan de inte ha exakt samtidigt definierade värden i alla tillstånd.

Matematiskt förekommer ickekommutativitet i icke-kommutativa algebror och i Lie-algebror, där kommutatorn [A,B] definierar Lie-bracketen och ger icke-abelska strukturer. Sådana algebror är centrala inom teoretisk fysik och modern algebra.

Historiskt utvecklades begreppet i kvantmekanikens framväxt under 1900-talet, särskilt genom Heisenbergs osäkerhetsprincip och Dirac/Weyl operatorformalismer.