høynivådifferensialligninger

Høynivådifferensialligning er en differensialligning som involverer avledninger av en ukjent funksjon y(x) opp til og med orden n, der n er høyeste avledningsorden som forekommer i ligningen. Slike ligninger beskriver hvordan y og dens avledninger varierer med den uavhengige variabelen.

Klassifisering: Ligninger kan være lineære eller ikke-lineære, homogene eller ikke-homogene, og ha konstante eller variable koeffisienter. De betegnes etter ordenen n, og trenger normalt n betingelser (initial- eller grensebetingelser) for å fastslå en løsning.

Løsningsmetoder: For lineære homogene ligninger med konstante koeffisienter brukes den karakteristiske ligningen r^n + a_{n-1} r^{n-1} + ... + a_0 = 0 til å finne løsningen som en blanding av eksponentialfunksjoner. Ikke-homogene eller variable-koeffisienter løses ofte ved variasjon av konstanter, reduksjon av orden eller serieløsninger. Numeriske metoder som finite differanse-metoder og skyteteknikk anvendes når eksplisitte løsninger ikke er enkle å få.

Eksempel: y'' + 3y' + 2y = sin x har en generell løsning y(x) = C1 e^{-x} + C2 e^{-2x} + yp(x), hvor yp kan finnes ved variasjon av konstanter.

Anvendelser: Høynivådifferensialligninger opptrer i mekanikk og konstruksjon (for eksempel bjelkeligningen y'''' = q(x)/EI), svingningsanalyse, fysikk og kontrollteori.

Se også: differensialligning, initialverdioppgave, grenseverdioppgave.