gradientów

Gradienty to wektorowe pola używane do opisu zmian wartości funkcji skalarnej f: R^n -> R. Gradient f, oznaczany ∇f, składa się z cząstkowych pochodnych: ∇f = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn). W przestrzeni euklidesowej gradient wskazuje kierunek największego przyrostu wartości f, a jego długość odpowiada maksymalnemu tempu zmian w tym kierunku.

Kierunek ten jest prostopadły do powierzchni poziomych f = const. Dla dowolnego kierunku jednostkowego u, kierunkowa pochodna D_u f = ∇f · u, co ilustruje, że gradient określa tempo wzrostu w każdym kierunku. Gradient jest także związany z level setami: gradient jest normalny do krzywych granicznych f = const.

Zastosowania obejmują optymalizację funkcji celu, gdzie metody spadku gradientu posuwają punkt w kierunku przeciwnym do ∇f w celu minimalizacji f. Punkty krytyczne spełniają ∇f = 0, a ich charakter bywa określany na podstawie hesjanu. W fizyce gradienty pojawiają się jako pola sił: F = -∇V, gdzie V jest potencjałem.

Obliczanie gradientów w praktyce: pochodne analityczne lub numeryczne, np. różnicami skończonymi. W przetwarzaniu obrazów gradienty służą do detekcji krawędzi; używa się operátorów różniczkowych, takich jak Sobel lub Prewitt. W ujęciu bardziej ogólnym gradient definiuje się na rozmaitościach za pomocą metryki; jego dywergencja i Laplacianki wyznaczają dalsze operacje różniczkowe, np. Δf = div(∇f).