geschlosenes

Geschlossenes, in der deutschen Mathematik oft als das Geschlossene bezeichnet, ist der Begriff für eine abgeschlossene Menge in einem topologischen Raum. Eine Teilmenge A eines Raums X heißt abgeschlossen, wenn das Komplement X \ A offen ist; äquivalent enthält A alle seine Grenzwerte (Limespunkte). In vielen Texten wird auch von einer abgeschlossenen Menge gesprochen, wobei geschlossene Mengen in der Regel mit dem Symbol oder Begriff der Topologie verbunden werden.

Zentrale Eigenschaften: Die Schnittmenge beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen, und endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind im Allgemeinen ebenfalls abgeschlossen. Das Komplementsatz spiegelt sich direkt in der Dualität zu offenen Mengen wider. Die Abschlossene Hülle (die Geschlossene Hülle) von A, oft als Abschluss oder Abschlussoperator cl(A) bezeichnet, ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält. In metrischen Räumen gilt: Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle Grenzwerte konvergenter Folgen aus der Menge enthält.

Beispiele: Im reellen Zahlraum R mit der üblichen Topologie sind ∅, R, jedes geschlossene Intervall [a, b] und einzelne Punkte wie {x} abgeschlossene Mengen. Die offenen Mengen sind dagegen Mengen wie (a, b). Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen, aber deren Schnitt ist abgeschlossen.

Verwendung und Terminologie: Im Deutschen werden häufig sowohl „abgeschlossene Menge“ als auch „geschlossene Menge“ verwendet; das Substantiv „das Geschlossene“ kommt als nominalisierte Form vor, besonders in längeren Erklärungen. Der Begriff ist eng mit Bezugssystemen wie Topologie, Analysis und Geometrie verbunden.