exponentiales

Las exponenciales son funciones de la forma f(x) = a^x con a > 0 y a ≠ 1, o la función exponencial natural f(x) = exp(x) = e^x. Para exponentes reales, a^x se define como a^x = e^{x ln a}. Esta definición permite extender la noción de potencias a cualquier número base positivo.

El número e, aproximadamente 2.71828, es la base natural de las exponenciales. Es fundamental en cálculo porque la derivada de exp(x) es exp(x) y su integral es exp(x) + C. Por ello, la función exponencial natural se usa con frecuencia en notación como exp(x) o e^x.

Propiedades destacadas incluyen que, para a > 1, a^x es creciente; para 0 < a < 1, es decreciente. La exponencial siempre es positiva. Su derivada es d/dx a^x = a^x ln a, y su integral es ∫ a^x dx = a^x / ln a + C. La función a^x es inversa de log_a(x), y cuando a = e se obtiene el logaritmo natural ln x.

Serie y límites: la exponencial tiene la serie local e^x = ∑_{n=0}^∞ x^n / n!. Un resultado límite importante es lim_{n→∞} (1 + x/n)^n = e^x, que caracteriza al número e.

Aplicaciones: modela crecimiento o decaimiento continuo, interés compuesto continuo, procesos de desintegración radiactiva y ecuaciones diferenciales. En probabilidad y física, las funciones exponenciales aparecen en modelos de crecimiento, decaimiento, difusión y en la formulación de leyes de naturaleza continua.