ellipsparametrar

Ellipsparametrar är sätt att beskriva varje punkt på en ellips som en funktion av en parameter. En parametrisering anger alltså en bana r(t) = (x(t), y(t)) som spänner över ellipsens kurva när t varying över ett intervall.

En vanlig form används när ellipsen har semimajoraxeln a, semiminoraxeln b och centrum i (0,0). Då är parametriseringarna x(t) = a cos t och y(t) = b sin t för 0 ≤ t < 2π. Denna representation förenklar beräkningar av punktens position, tangenter och rörelse längs ellipsen.

Om ellipsen är förflyttad till centrum (h,k) och roterad med vinkel φ får man en allmän parametrisering: x(t) = h + a cos t cos φ − b sin t sin φ, y(t) = k + a cos t sin φ + b sin t cos φ. Genom val av a, b, h, k och φ kan man beskriva varje ellips med olika orientering och placering.

Ett annat vanligt sätt är x = a cos E och y = b sin E där E betecknar eccentric anomaly. Denna form används särskilt inom orbitalmekanik och i analyser av sambandet mellan vinklar och positioner på ellipsen.

Viktiga egenskaper är att axlarna har längderna a och b, att e = sqrt(1 − b^2/a^2) är eccentriciteten, och att arean av ellipsen är πab. För parametreringen r(t) är hastigheten |r′(t)| = sqrt(a^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t). Den totala omkretsen kräver elliptisk integral och saknar enkel sluten form, även om exakta och approximationer finns.

Användningsområden inkluderar datorgrafik, geometrisk modellering, rymd- och banberäkningar samt undervisning i analytisk geometri.