eksponensielt

Eksponensielt beskriver fenomener som vokser eller synker med en konstant relativ hastighet per tidsenhet, og i matematikk refererer det ofte til funksjoner av formen f(x) = a^x hvor a > 0 og a ≠ 1. En spesielt viktig utgave er den naturlige eksponentialfunksjonen f(x) = e^x, der e er Napier’s tall, omtrent 2,7182818.

Egenskaper og grunnleggende fakta. For alle a > 0 og a ≠ 1 har f(0) = 1, og f(x+y) = f(x)f(y). Funksjonen er monotont økende når a > 1 og monotont avtagende når 0 < a < 1. Den har en kontinuerlig graf som er definert for alle reelle tall og alltid har verdier større enn eller lik 0.

Derivasjon, integrasjon og invers. Den deriverte av a^x er d/dx(a^x) = a^x ln(a), der ln er den naturlige logaritmen. For e^x er avledningen lik selve funksjonen, d/dx(e^x) = e^x. Inversen til f(x) = a^x er logaritmen log_a(x), og ln(x) er logaritmen basert på e. Dette gir at a^{log_a(x)} = x og log_a(a^x) = x.

Anvendelser og betydning. Eksponensielle modeller beskriver vekst og nedgang som skjer med en konstant relatert til dagens verdi. Eksempler inkluderer konstant rente (eksponensiell vekst), kontinuerlig rentes renteformel f(t) = f0 e^{rt}, biologisk vekst og populationsdemping, kjemisk reaksjonhastighet og radioaktiv nedbrytning. Fenomenet er også sentralt i sannsynlighet og statistikk, ved logaritmisering og skalaer som radial- eller halvverdi.

Historie og uttrykksformer. Begrepet og tallene e ble utviklet i middelhavsområdet og i europeisk matematikk, med naturalisering i Euler’s arbeid. Eksponensielle funksjoner finnes i ulike teller og modeller, og brukes bredt i matematikk, vitenskap og økonomi.