eigenarvoilla

Eigenarvot ovat lineaarisen muunnoksen A ominaisarvoja, jotka kuvaavat, kuinka vektori skaalautuu Av = λv -suhteen kautta. λ on eigenarvo ja siihen liittyvä ei-nolla v on eigenvektori. Tämän ratkaistaan det(A − λI) = 0 -kysymyksen avulla, jolloin λ:n arvot muodostavat karakteristisen polynomin juuret. Jokaiselle λ:lle määritetään eigenspace Eλ = {v | (A − λI)v = 0}.

Algebrallinen kertaluku (multiplicity) tarkoittaa, kuinka monta kertaa λ esiintyy karakteristisen polynomin juurena, geometrinen kertaluku taas on Eλ:n vektoritila. Matriisi on diagonoituva, jos siihen löytyy riittävästi eigenvektoreita ja ne muodostavat tilan kokonaisuudeksi. Erityisesti symmetriset matriisit A ∈ R^{n×n} ovat reaalisesti eigenarvoiltaan ja orthogonaalisesti diagonalisoituvia: A = QΛQ^T, missä Q on ortogonaalinen ja Λ on diagonaalinen.

Laskennassa käytetään sekä analyyttisiä että numeerisia menetelmiä. Tietyn koon matriisille voidaan ratkaista p(λ) = 0 perinteisesti, mutta suurille järjestelmille käytetään menetelmiä kuten voimaemenetelmä suurimman itseisarvoltaan olevan eigenarvon löytämiseksi, sekä inversiomenetelmää pienempien arvojen löytämiseksi. QR-algoritmi on yleisesti käytetty sekä täsmällisten että numeerisesti vakaiden tulosten saamiseksi.

Sovelluksia ovat muun muassa differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen analyysi, dynamiikan vakaus, mekaaniset värähtelyt, principal component analysis (PCA) ja muut tilastolliset menetelmät sekä grafiikan ja Markov-ketjujen spektrianalyysi. Esimerkki: A = [[2,1],[0,3]]: p(λ)=(2−λ)(3−λ)=0, eigenarvot 2 ja 3, eigenvektorit [1,0]^T ja [1,1]^T.