differensmetoden

Differensmetoden, eller finite difference-metoden, är en numerisk teknik som används för att approximera lösningar till differentialekvationer samt för att beräkna derivator genom att ersätta kontinuerliga differentialoperatorer med diskreta skillnader på ett rutnät. Metoden bygger på Taylorutveckling för att uttrycka derivator i termer av funktionsvärden vid närliggande punkter och därigenom skapa ett system av algebraiska ekvationer.

Vanliga skillnadsoperatorer är framåtskifte, bakåtskifte och centralt skifte. För en funktion y vid punkten x_i med stegläget h kan framåtskiftet användas till första derivatan: y'(x_i) ≈ (y_{i+1} − y_i)/h. Andra derivatan: y''(x_i) ≈ (y_{i+1} − 2 y_i + y_{i-1})/h^2. Centrala skillnader ger ofta högre noggrannhet: y'(x_i) ≈ (y_{i+1} − y_{i-1})/(2h).

Genom att discretisera differentialekvationer, till exempel y'' = f(x,y,y'), över ett rutnät x_0,...,x_N med steg h och tillämpa randvillkor, får man ett system av algebraiska ekvationer som kan lösas med linjära eller icke-linjära lösningsmetoder. Lösningen y_i ≈ y(x_i) ger en approximativ lösning till det ursprungliga problemet.

Användningsområden omfattar ingenjörsvetenskap, fysik och ekonomi, inklusive lösning av gränsvärdesproblem för Laplace-, Poisson- och tidiga värme- eller vågekvationer samt initiala värdeproblem för ordinära differentialekvationer. Noggrannhet och stabilitet beror på val av stegstorlek h samt problemets karaktär; mindre h ger bättre noggrannhet men större system och potentiella stabilitetsproblem.

Relaterade metoder inkluderar finite element-metoden och finite volume-metoden; differensmetoden är ofta det enklaste tillvägagångssättet för problem med enkla geometriska former.