Taylorutveckling

Taylorutveckling, eller Taylors serie, är en serieutveckling av en funktion runt en punkt a som används för att approximera funktionen i närheten av a. Om funktionen är tillräckligt differentiell kan f(x) skrivas som en oändlig summa av dess derivator vid a.

Den generella formen är f(x) = ∑_{n=0}^∞ f^{(n)}(a)/n! (x−a)^n. Resttermen beskriver fel mellan funktionen och polynomet upp till ordningen n. En vanlig form av restterm är Lagranges form: R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! (x−a)^{n+1}, där ξ ligger mellan x och a och under förutsättning att f^{(n+1)} är kontinuerlig i intervallet.

Radius av konvergens och analyticitet. Om f är analytisk i en omgivning av a konvergerar serien till f(x) för |x−a| < R, där R är radien av konvergens. R bestäms av avståndet till den närmaste singulariteten i komplex plan. Maclaurinutveckling är Taylorutveckling med a = 0.

Exempel. För e^x omkring a = 0 får man e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... . En annan välkänd serie är ln(1+x) = x − x^2/2 + x^3/3 − ... för -1 < x ≤ 1.

Användningar. Taylorutvecklingen används för lokala approximationer i numerisk analys, vid lösning av differentialekvationer och i fysik och teknik där funktioners beteende nära en punkt behövs beskrivas enkelt och computably.