differenciálgeometriai

A differenciálgeometria a matematika azon ága, amely a sima sokaságokkal (manifoldekkel) foglalkozik, és ezek geometriáját a differenciálkalkulus eszközeivel tárja fel. Alapfogalmai közé tartoznak a tangent- és cotangent-tér, a kovariáns deriváció és a kapcsolatok, a görbület és a geodetikus görbék, valamint a differenciális formák elmélete.

Az alapfogalmak közé tartozik a sima manifold, a tangent- és cotangent-tér, a kovariáns deriváció (kapcsolat), a metrika és a görbületi tenzorok, a geodetikus görbék, valamint a differenciális formák és a de Rham-koomorfológia.

Riemann-geometria középpontja a metrika által meghatározott görbület és távolság fogalmai; kapcsolódó területei a pszeudo-Riemann-geometria, szimbolikus geometriák, komplex geometriák és kontaktgeometria.

Fontos tételek: Gauss–Bonnet-tétel, Cartan mozgó keret módszere, illetve a de Rham-koomorfológia és Nash beágyazási tétel.

Alkalmazások: általános relativitáselmélet, számítógépes grafika és látás, robotika, gépi tanulás és adatelemzés, ahol adatok vagy alakzatok manifoldokon való vizsgálata hasznos.