tenzorok

A tenzorok olyan matematikai objektumok, amelyek általánosítják a vektorokat és a mátrixokat, és lehetővé teszik a több bemenetű, lineárisan viselkedő kapcsolat leírását különböző vektorterek között. Egy típusuk szerint a tenzor lehet eleme a megfelelő tensor-szorzatnak, vagy értelmezhető multilineáris leképezésként, amely a bemeneti vektorok és covektorok listájára ad kimenetet.

Formálisan egy V vektortér felett egy típusú (k, l) tenzor az V⊗k ⊗ (V*)⊗l eleme, és ekvivalensen egy multilineáris leképezés T: (V*)^l × V^k → F, amely k vektor és l covektor bemenetre lineárisan reagál.

Rend és példák: az 0-rendű tenzor scalar, 1-rendű tenzor vektor, 2-rendű tenzor lehet mátrix vagy bilineáris forma, a 3-rendű és magasabb rendűek pedig több oldalrendszerű kapcsolatok leírására alkalmasak.

Koordinátori ábrázolás: bázis kiválasztásával a tenzorokat komponensekkel írhatjuk fel, T^{i1...ik}_{j1...jl}. Ezek a komponensek egy többdimenziós tömböt adnak ki, amely a vektorterek tényezőinek méretétől függ.

Műveletek: a tenzorok összeadása és skalárszorosítása képezhető, a tenzoros szorzat és a kontrakció révén új típusok jöhetnek létre; kontrakcióval csökkenthető a rend, például egy index összekapcsolásával.

Alkalmazások: fizikában és általános relativitáselméletben kulcsfontosságú a metrika, a különféle fizikai mennyiségek tenzorokkal való leírása; gépi tanulásban és számítástechnikában nagy méretű adattömbök, neurális hálózatok vagy adatok tensorokkal történő ábrázolására használják.

Történelem: a fogalom a 19. század végén alakult ki Ricci-Curbini és Levi-Civita munkáiban, a tenzorok pedig a későbbi Weyl és mások munkájában váltak széles körben használttá.