geometriák

Geometriák a matematika ága, amely a terekben és alakzatokban, azok méreteiben, formáiban és egymáshoz viszonyított helyzetében fennálló törvényszerűségek vizsgálatával foglalkozik. Általános értelemben geometriák axiomatikus rendszerek, amelyeket meghatározott axiómák írnak le, így különböző geometriai elméletek léteznek. A klasszikus geometriát Euclidész megfogalmazta, és a sík- valamint a térgeometria alapját képezi: például a háromszög belső szögösszege 180 fok és a párhuzamposztulátum. Nem-Eukleidészi geometriák közé tartoznak a hiperbolikus és az elliptikus (például sferikus) geometria; a párhuzamposztulátum különböző értelmezései más-más geometriákat adnak. A 19. században Gauss, Bolyai és Lobachevszkij, majd Riemann fejlesztéseivel vált világossá, hogy a tér geometriája nem korlátozódik a síkra.

Más ágak közé tartozik a differential geometria, amely kalkulus eszközeivel vizsgálja a sima felületeket és a görbületeket, és alapvető a relativitáselméletben. Az algebrai geometria polinomiális egyenletek által definiált változók és azok kapcsolatait vizsgálja variétások formájában. A computacionális geometria gyakorlati problémákra ad algoritmikus megoldásokat, például konvex burok, Voronoi- és Delaunay-diagramok. Diszkrét geometria a véges objektumok geometriájával foglalkozik.

Geometria története az ókori görögökhöz, Eukleidészhez köthető; később a 19. századi nem-Eukleidészi felfedezések nyitották meg a modern elméleteket. Ma a geometria nélkülözhetetlen eszköz a tudományban, mérnökségben, számítástechnikában és földtudományokban.