nemEukleidészi

NemEukleidészi geometria, vagy röviden nem-eukleidészi geometria, olyan geometriai rendszerek összessége, amelyek nem követik az ötödik eukleidészi posztulátumot. A klasszikus síkgeometria helyett ezekben a terekben a párhuzam fogalma másként jelentkezik, és a görbület sem feltétlenül nulla. A legfontosabb csoportok a hiperbolikus geometria és az elliptikus (görbületi) geometria. Mindkettő rögzített görbületű rendszert ír le, és a háromszög, a kör és a geodetikus fogalmak is megváltoznak a síkgeometria hagyományos érteleméhez képest.

Historikusan a 19. században bontakozott ki a nem-eukleidészi geometria. Gauss intrinzikus geometriáról gondolkodott, de publikáció nélkül. A hiperbolikus geometria megalkotására Bolyai János és Lobachevszkij függetlenül jutott el; Bolyai publikálta a témáról írt munkát, Lobachevszkij pedig enélkül is fejlesztette ki a koncepciót. Később Riemann, Beltrami és Klein hozzájárulásai és Hilbert axiómarendszere megalapozták a formális keretet.

Jellemzők és modellek: hiperbolikus geometriában a háromszögek összegük kevesebb, mint 180 fok; elliptikus geometriában a háromszögek összegük több mint 180 fok. A hiperbolikus térben végtelen számú párhuzam létezik egy adott vonal és pont között, elliptikus térben pedig párhuzamok nem léteznek, mert minden vonal összetalálkozik. Modellek közé tartozik a Poincaré-disk modell és a Klein-modell, amelyeket a különböző megjelenítések megkönnyítésére használnak.

Jelentősége: a nem-eukleidészi geometria alapja a téridő görbületének leírásának a fizikában, különösen az általános relativitáselméletben, továbbá fontos eszköz a modern térképészetben és a kozmológiában.