axiómarendszere

Aksioomide süsteem, ehk axiómarendsüsteem, on formaalne süsteem, mis koosneb aksioomidest ja järeldusreeglitest. Selle eesmärk on pakkuda kindlat ja loetavat alust teooriate tõendamiseks. Formaalses keeles defineeritakse keel ja valemid, ning tõendid koosnevad nende valemite korrektsetest järeldustest vastavalt reeglitele, näiteks modus ponens.

Aksioomide süsteemidel on teatud omadused. Järjepidevus tähendab, et süsteem ei luba samaaegselt tõestada lauset ja selle negatsiooni. Sõltuvalt mudelist võib öelda, et süsteem on semantiliselt korrektne (tõed on tõlgendatavad mudelis). Komplektsus ehk täielikkus küsib, kas iga tõeline lause keeles on provable; see ei kehti kõigi üldtähistega süsteemide puhul, eriti aritmeetikas. Aksioomite süsteemide puhul kujundatakse sageli ka semantikat ja mudeljeid, mis näitavad, millal teooria on täidetav ja millised on selle piirid.

Näited on hästi tuntud. Eukleese geomeetria aksioomid moodustavad varase axiomaarsuse klassi; Hilberti geomeetria ja Peano aritmeetika pakuvad tähelepanuväärseid formaalseid aluseid. Zermelo–Fraenkel setiteooria koos valikaksioomiga (ZFC) on üks võtmealuseid tänapäevases matemaatikas.

Gödeli lõpmatusteoremid näitavad piiranguid: iga piisavalt tugev jarekursiivselt loetav aksioomide süsteem, mis sisaldab aritmeetikat, on puudulik ning ei suuda tõestada enda järjepidevust. See tõstab esile rõhuvat rolli: aksioomsüsteemid annavad matemaatikale rangelt formaliseeritud alused, kuid nende piirid on teada ja tuleb käsitleda nii tõenduste kui mudelite kaudu.