axiómák

Axiómák (singulár: axióma) olyan állítások, amelyeket egy formális rendszer kiindulópontként fogad el, és amelyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. Az axiómák meghatározzák a rendszer nyelvének és logikájának alapjait, és megmondják, mely állítások vezethetők le tételként a megadott szabályokkal.

Az axiómák és a szabályok együtt alkotják a teóriát: az axiómák adnak kiindulási pontot, a bizonyítási szabályokkal (például a modus ponens) lehet tételt bizonyítani. Egy elméletben a posztulátumok gyakran az axiómák speciális megfogalmazásai, és a megfogalmazás pontos kontextusától függően használatosak.

Jelentős axiómarendszerek közé tartoznak a Peano-axiómák a természetes számokra, a Zermelo–Fraenkel halmazelmélet axiómái (általában ZFC), a Kolmogorov-axiómák a valószínűségre, valamint Euclid posztulátumai a geometriára. Modern formális elméletek gyakran mindenre kiterjesztik ezek fogalmi keretét, hogy világos és ellenőrizhető legyen a bizonyítási folyamat.

Fontos tulajdonságok közé tartozik a függetlenség, a konzisztencia és a teljesség kérdése. A konzisztencia azt jelenti, hogy a rendszer nem vezet ellentmondáshoz; a függetlenség azt bizonyítja, hogy egy axiómát nem lehet a maradékból származtatni. Gödel nemteljesedési tételei szerint bármilyen érdemi aritmetikát tartalmazó erős rendszerben léteznek igaz állítások, amelyeket belső bizonyítással nem lehet eldönteni, ha a rendszer konzisztens.

Történetileg az axiómák módszere a görög geometria és a formális logika fejlődéséből nőtt ki, és a 20. században Hilbert-programja révén vált a matematikai tárgyalás központi eszközévé: az axiómák és a formális bizonyítás tiszta és ellenőrizhető keretét szolgálják.