diagonaliserbare

Diagonaliserbarhet är en egenskap hos en kvadratisk matris A över ett fält F. A är diagonaliserbar om det finns en invertibel matris P så att P^{-1} A P är diagonal. Den diagonala matrisen innehåller då A:s egenvärden längs diagonalen och gör det möjligt att lätt beräkna funktioner av A, inklusive potenser.

En central liknelse är att A är diagonaliserbar över F om och endast om det finns n linjärt oberoende egenvektorer till A, där n är storleken på A. Det innebär att summan av dimensionerna av eigensrummen för alla egenvärden λ är lika med n. Sammanfattat: A är diagonaliserbar om man kan hitta en bas av F-rummet bestående av egenvektorer till A.

Kriterier: Ett vanligt kriterium är att minsta polynomet m_A(x) inte har upprepade rötter; dvs. m_A har endast distinkta faktorer. Över ett fält där karakteristiska polynomet splits i linjära faktorer (t.ex. över C) innebär detta att A är diagonaliserbar om och endast om m_A har distinkta rötter. I praktiken betyder det att varje egenvärde λ kan uppträda med viss algebraisk multiplicitet, men dimensionen av motsvarande eigenspace måste nå upp till dess algebraiska multiplicitet.

Exempel och fältsaspekter: Om A har två olika egenvärden λ1 ≠ λ2 är A diagonaliserbar över F. En Jordan-block av storlek två är inte diagonaliserbar. Ett beteende skiljer sig mellan fält: A kan vara diagonaliserbar över C men inte över R om eigenvärdena är komplexa.

Användningar: Diagonalisation förenklar beräkningar av A^k och funktioner av A samt lösningar av system av differentialekvationer och analys av grafers egenskaper.