derivaatiomenetelmiä

Derivaatiomenetelmät ovat menetelmiä, joiden avulla voidaan määrittää funktion derivaatta. Ne jaotellaan pääosin symbolisiin (analyyttisiin) ja numeerisiin menetelmiin. Symboliset menetelmät tuottavat tarkkoja lausekkeita, kun taas numeeriset menetelmät antavat likimääräisiä arvoja käyttämällä funktion arvoja tietyissä pisteissä.

Symbolinen derivointi tarkoittaa derivoinnin suorittamista analyyttisesti, jolloin derivoitava lauseke muutetaan tarkaksi lausekkeeksi. Tähän kuuluvat laskusäännöt kuten tuotteen-, osittelun- ja ketjusäännön soveltaminen sekä CAS-ohjelmistojen mahdollistama automatisoitu derivointi, jolla voidaan saada yksinkertaistettuja ja eksplisiittejä derivoituja lausekkeita.

Numeerinen differentiation perustuu näennäisesti pieniin osasleikkauksiin f(x+h) ja f(x-h). Yleisimmät menetelmät ovat etu- (forward), takaa- (backward) ja keskietu (central) -erottelut. Yleensä etu- ja takayhteenveto ovat ensimmäisen kertaluvun tarkkuudella O(h), kun taas keskietu on tarkempi, O(h^2). Suurempiaskelien valinta liittyy virhe- ja pyöristysvaarojen tasapainottamiseen; kohinaisessa aineistossa derivoiminen voi olla erityisen haasteellista. Erittäin suurta tarkkuutta voidaan pyrkiä saavuttamaan käyttämällä korkeampi-asteisia differenssi-tekijöitä tai kompleksiaskeleita.

Kompleksiaskeleen erottelumenetelmä (complex-step differentiation) antaa erittäin tarkan derivoivan arvon käyttämällä pieniä imaginaarihäiriöitä ilman perinteisten erottelujen häviöjä. Se soveltuu erityisesti ohjelmalliseen derivativeihin.

Automaattinen derivointi (automatic differentiation, AD) laskee derivaatat ohjelman arvoista tarkasti koneen tarkkuudella. Sillä on forward- ja reverse-tilat, ja se yhdistää symbolisen ja numeerisen lähestymistavan ominaisuuksia erityisesti optimointiin ja koneoppimiseen.

Sovelluksiin kuuluvat optimointi, herkkyysanalyysi, insinööri- ja fysiikkalaskelmat sekä data-analyysi.