deflaatiometodeilla

Deflaatiometodit ovat numeerisen laskennan menetelmiä, joissa aiemmin löydettyjä ratkaisuja tai ominaisuuksia käytetään poistamaan niiden vaikutus jäljellä oleviin laskuihin. Tavoitteena on löytää useampia ratkaisuja tai eigenarvoja yhdessä kokonaisuudessa ilman, että jokaista ratkaisua haetaan erikseen alusta lähtien.

Lineaarisessa eigenarviongelmassa deflaatio tarkoittaa, että käytetty ratkaisuvaikutus vähennetään seuraavissa vaiheissa, jolloin etsitään muita eigenpareja. Tämä voi tapahtua implisittisesti projisoimalla ongelma sellaiselle alalle, jonne aiemmat eigenvektorit ovat ortogonaalisia, tai eksplisiittisesti muokkaamalla ongelmaa esimerkiksi rank-1 päivityksen tai projektioiden avulla siten, ettei aiemmin löydetty pari häiritse seuraavien konvergenssia.

Deflaatiotekniikoita käytetään myös epälineaarisissa ratkaisuongelmissa. Siinä aiemmin löydettyjä ratkaisupisteitä ei helposti enää löydetä uudestaan, esimerkiksi muuttamalla residuaalia siten, ettei se enää horju aiempien ratkaisujen lähellä, tai lisäämällä repulsio-tyyppisiä termejä, jotka vaikuttavat hakupolkuun niissä kohdissa.

Käyttökohteet ja vaikutukset ovat keskeisiä suurten matriisien eigenarvojen etsinnässä sekä useiden epälineaaristen ratkaisujen löytämisessä. Deflaatiota hyödynnetään erityisesti Krylov-tyyppisissä menetelmissä (kuten Lanczos- ja Arnoldi-ketjut) sekä näihin liittyvissä ohjelmistoissa, kuten ARPACK ja vastaavat työkalut, jotka voivat hyödyntää deflaatiota nopeuttaakseen konvergenssia. Edut ovat suuret, kun halutaan löytää useita ratkaisuja tehokkaasti; haasteina ovat numeerinen stabiilisuus ja ortogonaalisuuden ylläpito sekä deflaation oikea toteutus kutakin ongelmaa varten.