covariância

A covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y é uma medida de como elas variam conjuntamente. Ela captura a variabilidade conjunta e pode indicar se há uma relação linear entre as variáveis. A definição clássica é Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]. Em dados amostrais, pode-se estimar pela Cov_hat(X,Y) = (1/(n-1)) ∑ (x_i - x̄)(y_i - ȳ).

Interpretativamente, um sinal positivo indica que X e Y tendem a aumentar juntos, enquanto sinal negativo indica que um aumenta enquanto o outro tende a diminuir. A magnitude da covariância depende das unidades de X e Y, o que a torna não padronizada. Por essa razão, costuma-se usar o coeficiente de correlação, que é adimensional, para comparar relações entre pares de variáveis.

Entre propriedades importantes, destaca-se que Cov(X,Y) = Cov(Y,X). Se X é transformada por aX + b e Y por cY + d, então Cov(aX+b, cY+d) = ac Cov(X,Y). A variância de X é Cov(X,X). A covariância pode ser zero mesmo quando as variáveis não são independentes; independência implica covariância zero, e para variáveis normais bivariadas, covariância zero implica independência.

Aplicação: a covariância é fundamental em estatística multivariada e análise de dados, formando a base da matriz de covariância entre várias variáveis. É usada em modelos de regressão, gestão de risco, finanças e técnicas como análise de componentes principais (PCA) para descrever relacionamentos lineares e a estrutura de dependência entre variáveis.