cosFunktionen

Die cosFunktionen umfassen die Kosinusfunktion cos(x) sowie verwandte Funktionen, die aus ihr abgeleitet werden. Die Grundform cos(x) ist eine reellwertige Funktion von einem reellen Argument. Sie bildet R auf das Intervall [-1, 1] ab, ist periodisch mit der Periode 2π und ist gerade, das heißt cos(-x) = cos(x). Werte bei Vielfachen von π: cos(kπ) = (-1)^k.

Historisch und mathematisch ergibt sich cos(x) aus dem Einheitskreis. In Zusammenhang mit der Sinusfunktion gilt cos(x) = sin(π/2 − x). Euler'sche Formel: cos x = (e^{ix} + e^{-ix})/2. Die Maclaurin-Reihe: cos x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^{2n}/(2n)!.

Ableitung und Integration: d/dx cos x = −sin x; ∫ cos x dx = sin x + C. Grundlegende Identitäten: cos^2 x + sin^2 x = 1; Additionsformeln: cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b; Doppelwinkel: cos(2x) = 2 cos^2 x − 1.

Anwendungen: In der Fourieranalyse, Signalverarbeitung und Wellenlehre spielen cosFunktionen eine zentrale Rolle, etwa bei der Zerlegung periodischer Signale in Kosinuskomponenten. In der Geometrie dient der Kosinus als Maß für den Winkel zwischen Vektoren: cos θ = (a · b)/(|a||b|). In der Numerik erscheinen Kosinusfunktionen in Interpolation, Approximation und der Lösung von Differentialgleichungen.

Varianten und Verallgemeinerungen: cos(n x) beschreibt Mehrfachwinkelbeziehungen; komplexe Argumente führen zur erweiterten Kosinusfunktion, und in mehrdimensionalen Anwendungen treten mehrdimensionale Kosinuskosinus-Reihen auf.