continuumkardinaliteetti

Continuumkardinaliteetti on kardinaliteetti, jolla mitataan kontinua, eli reaalilukujen joukkoa. Kardinaliteetti merkitään usein c:llä ja se vastaa suuruutta 2^{aleph_0}, jossa aleph_0 on luonnollisten lukujen määrä. Käytännössä c kuvaa sitä, kuinka monta reaalilukua on olemassa.

Reaalilukujen joukko on suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko; Cantorin diagonaalivirhe osoitti, että R ei ole luettavissa, eli sen kardinaliteetti c on suurempi kuin aleph_0. Tämän lisäksi on osoitettu, että reaalilukujen määrä on bijektio P(N):n kanssa, toisin sanoen R ≅ P(N). Näin c on sekä reaalilukujen että luonnollisten joukkojen potenssijoukon koon yhteydessä kuvaava suuruskoko.

Continuumkardinaliteettiin liittyy continuum-hypoteesi (CH). CH väittää, ettei ole kardinaliteettia, joka istuisi aleph_0:n ja continuumkardinaliteetin c välille; muodollisesti c = aleph_1. CH on riippumaton ZFC-akseemoista: sekä CH että sen kieltäminen ovat konsistentteja ZFC:n lisäyksenä, kun ZFC on konsistentti. Tämä tarkoittaa, ettei ZFC voi todistaa CH:n oikeellisuutta tai vääryyttä käyttäen pelkästään ZFC:n perusaksioomia.

Yleisesti continuumkardinaliteetti on keskeinen käsite sanojen set theory ja cardinal arithmetic -alueilla, ja sen arvo voi olla aleph_1 tai sitä suurempi riippuen valituista aksioomista ja mallista. Se antaa mittapuun sille, miten suuret joukkomääritteet voivat olla suhteessa toisiinsa.